INSTRUMENTOS DE CUERDA
Cuerdas vibrantes
Los instrumentos de cuerda constituyen una gran parte de la orquesta sinfónica y emplean cuerdas extendidas montadas sobre una especie de caja hueca como cavidad resonante. Seis ejemplos de instrumentos de cuerda de uso común hoy son
Violín, cello, arpa, piano, guitarra, banjo.
Propiedades de las Cuerdas
La vibración de las cuerdas en los instrumentos de cuerda tiene la forma de ondas estacionaria, que producen una frecuencia fundamental y todos los armónicos de esa fundamental simultáneamente. Estas frecuencias dependen de la tensión, masa y longitud de la cuerda. Los armónicos hacen del timbre del sonido que sea mas lleno y rico que con solo la fundamental. La mezcla particular de armónicos presentes, depende del método de excitación de la cuerda.
Reglas de Mersenne
El primer estudio sistemático de cuerdas vibrantes fue realizado por Pitágoras en el sexto siglo antes de Cristo. Sin embargo, los estudios definitivos fueron realizados en el siglo diecisiete por Pere Mersenne, un monje franciscano, que resumió sus hallazgos junto con sus predecesores, en cuatro reglas generales. Las reglas de Mersenne pueden establecerse como sigue:
La frecuencia de una cuerda vibrante es
- Inversamente proporcional a su longitud
- Proporcional a la raíz cuadrada de la tensión aplicada a la cuerda.
- Inversamente proporcional a su diámetro.
- Inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su densidad.
Examinemos estas reglas con detalle. Primero, se encuentra que aumentando la longitud de una cuerda para la misma tensión hacen que el tono y la frecuencia disminuyen, y disminuyendo la longitud para la misma tensión hacen que el tono y la frecuencia aumentan. La frecuencia es inversamente proporcional a su longitud
Sintonizando la cuerda de cualquier instrumento musical, el aumento de la tensión hacen que el tono y la frecuencia aumenten. Disminuyendo la tensión hace que el tono y la frecuencia disminuyan. Experimentalmente, se encuentra
Donde f es la frecuencia y F es la Tensión
Finalmente, para una tensión constante , cuerdas de masa por unidad de longitud creciendo vibran con menor tono y frecuencia, y disminuyendo la masa por unid de longitud, el tono y frecuencia aumentan.
Experimentalmente
Donde m es la masa por unidad de longitud de la cuerda se da en kilogramos/metro. La tercera relación sigue las reglas 3 y 4 donde m depende del diámetro y la densidad de la cuerda.
La teoría de cuerdas vibrantes
Investiguemos ahora como las reglas de Mersenne siguen el comportamiento de una cuerda vibrante. Hemos visto ya que una cuerda que se pone en su modo natural de vibración, con nodos y antinodos, y es un ejemplo de nodos y antinodos, es un ejemplo de onda estacionaria transversal. Veamos ahora el proceso de ondas viajeras.
Supongamos una perturbación producida cerca de un extremo , como la pulsación de una cuerda, produce una onda a lo largo de la cuerda se refleja de extremo a extremo. Como la frecuencia fundamental de la vibración es igual al número de veces por segundo con el que la onda llega al mismo extremo, el tono dependerá de la velocidad de las ondas y la distancia que tiene que viajar. La velocidad V de las ondas transversales a lo largo de la cuerda bajo la tensión está dada por
Donde F es la tensión, en newtons, y m es la masa por unidad de longitud en kilogramos/metro. Ver Figura 11-8. La distancia que la onda debe viajar durante un viaje es 2L. El tiempo para que la onda haga un viaje es
La gráfica mostrando la relación entre la velocidad de onda a lo largo de una cuerda tensa y la raíz cuadrada de la tensión. La configuración experimental se muestra en la figura 3-7.Como la frecuencia es recíproca del periodo llegamos a la expresión para la frecuencia en viajes circulares (round trips) :
Ahora destaquemos que la masa por unidad de longitud, m está dado por la masa por unidad de volumen (densidad) por el área de la sección transversal
Donde p es la densidad del material y d es el diámetro. Combinado tenemos
Esta fórmula resume los cuatro factores que determinan la frecuencia fundamental de una cuerda vibrante de acuerdo con Mersenne.
Una de las últimas etapas es determinar la dependencia del modo sobre la frecuencia. Observamos que el número de ciclos de una onda estacionaria es proporcional al número de modo. Viendo la onda estacionaria ahora como ondas viajeras que se reflejan, esperaríamos que el número de crestas sea proporcional al número de modo. Por lo tanto, el número de crestas llegando a cualquier punto por unidad de tiempo también es proporcional al número de modo. Podemos por lo tanto inferir que la frecuencia es proporcional al número de modo
Ejemplo
Una cuerda de arpa que emite una nota dos octavas por debajo del Do central de la es=cala musical está 75,0 cm de longitud y tiene una masa total de 150 gramos (g). Si la cuerda está bajo una tensión de 1960 N, encontrar la frecuencia de su modo fundamental
Solución
Las cantidades dadas son L = 0,75 m, F=1960 N y m=0,150 kg/0,750 m. o 0,20 kg/m insertando estas cantidades directamente obtenemos
Ondas estacionarias
Cada una de las frecuencias naturales a las que vibra un objeto está asociada a su patrón de onda estacionarias. Cuando un objeto vibra se forma una onda estacionaria dentro del objeto. Las frecuencias naturales de un objeto son simplemente las funciones armónicas a las que forma un patrón de onda de resonancia dentro del objeto. Estos patrones de onda estacionaria representan los niveles de energía más bajos de los modos de vibración del objeto
Mientras existen muchas formas a las que un objeto puede vibrar (cada una asociada a una frecuencia específica), los objetos favorecen uno modos específicos de vibración. Los modos o patrones de vibración favorecidos son aquellos que se traducen en mayor amplitud de vibración con el menor gasto de energía
Vibración de una Cuerda
El modo de vibración fundamental de una cuerda estirada es tal que, la longitud de onda es dos veces la longitud de la cuerda.
Aplicando las relaciones de onda básicas, da la expresión para la frecuencia fundamental:
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Puesto que la velocidad de onda está dada por |
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, la expresión de frecuencia |
se puede poner en la forma:
La cuerda también vibrará en todos los armónicos de la fundamental. Cada uno de estos armónicos, formará una onda estacionaria en la cuerda.
Esto muestra una onda estacionaria resonante en una cuerda. Está impulsada por un vibrador a 120 Hz.
La velocidad de una onda de propagación en una cuerda estirada está determinada por la tensión y la masa por unidad de longitud de la cuerda.
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La velocidad de onda está dada por |
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Cuando se aplica la fórmula de onda a una cuerda estirada, se ve que se reproducen los modos resonantes de onda estacionaria. El modo de frecuencia mas baja de una cuerda estirada se llama fundamental, y su frecuencia está dada por
Se puede calcular cualquiera de las cantidades resaltadas haciendo clic sobre ella. Si en una cantidad no se introduce ningún valor numérico, se tomará el de una cuerda de 100 cm de longitud sintonizada a 440 Hz. Los valores por defecto se entrarán para cualquier cantidad que tenga valor cero. Se puede cambiar cualquier cantidad, pero se debe hacer clic sobre la cantidad que se desee calcular, para reconciliar los cambios.
Armónicos
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La vibración ideal de una cuerda se producirá a su frecuencia fundamental y a todos los armónicos de esa frecuencia. Las posiciones de los nodos y antinodos, son exactamente las opuestas de aquellas de la columna de aire abierta. La frecuencia fundamental se puede calcular de
Donde
T = tensión en la cuerda y los armónicos son múltiplos enteros.
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Frecuencias de Vibración de una Cuerda
Si se puntea la cuerda de una guitarra, no hay que decirle que tono tiene que tocar -¡lo sabe!-. Es decir, su tono es su frecuencia resonante, la cual está determinada por la longitud, masa y tensión de la cuerda. Los tonos varían de diferentes formas con estos diferentes parámetros, como se ilustra en el ejemplo de abajo:
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Si se desea elevar el tono de una cuerda mediante el aumento de su tensión:
Se puede ver que no es práctico sintonizar una cuerda en un rango grande de tonos utilizando la tensión, ya que esta sube por el cuadrado de la relación de tonos. |
Excitación de la Cuerda
Las frecuencias producidas por las cuerdas tensadas, están determinadas por la tensión, la masa y la longitud de las cuerdas, y consisten en una frecuencia fundamental y todos los armónicos de esa fundamental. A pesar de que estas frecuencias están determinadas, el timbre del sonido producido por la cuerda puede variar considerablemente, dependiendo del método de excitación de la cuerda. En la familia del violín, la cuerda puede ser arqueada o rasgada (pizzicato). En el piano la cuerda es golpeada por un martillo de fieltro, y en el clavecín, la cuerda es punzada por una púa de "pluma".
Aun cuando la forma de excitación está establecida, hay diferencias en el contenido de armónicos, dependiendo de la ubicación de la excitación en la cuerda. Si un violín es arqueado cerca del puente (sul ponticello), entonces el sonido es más brillante, con más contenido de armónicos. Si se arquea más lejos del puente (sul tasto), entonces el sonido es más oscuro, más suave, con menos contenido armónico.
Cuando una cuerda es normalmente pulsada o frotada con un arco, casi siempre se pone a vibrar en su modo fundamental y varios de sus modos más altos al mismo tiempo. Como ilustración, se muestra un diagrama (figura a)) de una vibración de una cuerda en dos modos al mismo tiempo. A medida que la cuerda vibra en un bucle simple o segmento con una frecuencia 1f las dos mitades se mueven arriba y abajo fuera de fase como dos bucles con dos veces la frecuencia, o 2f.
De nuevo, si se hace vibrar la cuerda en su primer y tercer armónico, se dividirá en tres secciones , como se muestra en la Figura (b), y así estas tres secciones vibran con una frecuencia 3f la cuerda completa se mueve hacia arriba y abajo con la frecuencia más baja 1f de la fundamental. Las ondas sonoras que emergen de la cuerda son una combinación del primero y tercer armónico, y en forma combinada tienen la forma dada en la Figura (c).
De las muchas maneras en la que los modos pueden combinarse en una cuerda vibrante, dos más de los más simples se muestran en las figuras (c) y (d). Las gráficas temporales de las cuatro patrones de la cuerda vibrante que se muestran en la Figura.
Figura Cuatro de las muchas maneras en las que una cuerda puede vibrar. La cuerda está vibrando con a) el primer y segundo armónico, el primero y tercer armónico, el primero y el quinto armónico y d) el segundo y tercer armónico.
En la figura se muestran las gráficas temporales para las ondas sonoras de una cuerda vibrando con dos de sus modos naturales simultáneamente. Gráficas a) el primer armónico sólo b) el tercer armónico sólo c) el primero y el tercer armónico simultáneamente.
Gráficas temporales para las ondas sonoras emitidas para una cuerda vibrante con los cuatro modos que se muestra en la Figura. Vibración para a) el primero y segundo armónico b) el primero y tercer armónico c) el primero y quinto armónico , y d) el segundo y tercer armónico.